1. Metoda eliminacji Gaussa

          

Zakładamy, że macierz A jest nieosobliwa.

Metoda ta składa się z dwóch etapów:

  - Postępowanie proste, w którym układ Ax=b przekształcamy do równoważnego układu Ux=c gdzie macierz U jest macierzą trójkątną górną

  - Postępowanie odwrotne - rozwiązanie układu Ux=b

 Układ Ax=b można zapisać w postaci

             

Postępowanie proste składa się z n-1 kroków

  Krok 1   a11≠0 i definiujemy

                   

              Aby wyeliminować zmienną x1 z i-tego równania należy od niego odjąć równanie pierwsze pomnożone przez li1. Po pierwszym kroku otrzymujemy:

                          

Po k-1 krokach otrzymujemy

              

Aby wyeliminować xk z i-tego równania odejmujemy od niego k-te równanie pomnożone przez lik i=k+1(1)n.

Po n-1 krokach otrzymujemy

                  

Postępowanie odwrotne (wzory na rozwiązanie Ux=c)

              

Przykład 

               3x1+2x2-x3=4               

                 x1+ x2      =2   

               2x1-4x2-x3=-3                

                              3x1+2x2-x3=4                              3x1+2x2-x3=4

                 Krok 1   (1-2/3)x2+(0+1/3)x3=2-4/3            1/3x2+1/3x3=2/3

                              (-4-4/3)x2-(-1+2/3)x3=-3- 8/3       -16/3x2-1/3x3=-17/3

                            

                    3x1+2x2-x3=4                         3x1+2x2-x3=4

            Krok 2   1/3x2+1/3x3=2/3                       1/3x2+1/3x3=2/3

                                     (-1/3+16/3)x3=-17/3+32/3                 15/3x3=15/3

                       Postępowanie odwrotne

                             x3=1

                             1/3x2=2/3-1/3         x2=1

                             3x1=4-2+1               x1=1 

                                   

Powrót do metod