Przekształceniem Householdera nazywamy przekształcenie P postaci

gdzie I jest macierzą jednostkową, a w wektorem z Rn.

Mnożąc dowolny wektor xRn przez P dostajemy

gdzie r=(wTw)x jest rzutem prostopadłym wektora x na wektor w. Przekształcenie Householdera przyporządkowuje zatem dowolnemu wektorowi x jego odbicie zwierciadlane y względem hiperpłaszczyzny Π prostopadłej do wektora w.

Przedstawimy teraz podstawowe zastosowanie przekształceń Householdera. Jest nim konstrukcja transformacji unitarnej przeprowadzającej dany wektor a≠0 na kierunek wektora e≠0 (a, eRn).

Należy zatem wyznaczyć takie

aby

Przekształcenie P jest hermitowskie, wiec

tym samym liczba

musi być rzeczywista.

Stąd i z (*) mamy

Z postaci przekształcenia P i z zależności (*) wynika dalej, że

Wygodnie zatem przyjąć

i przedstawić P jako

Wartość parametru l była określona wyżej z dokładnością do znaku. Dla zapewnienia numerycznej poprawności  algorytmów wykorzystujących przekształcenie Householdera znak ten powinien być dobrany tak, aby wektor u miał możliwie największą długość. A ponieważ

więc we wzorze (**) należy brać znak minus. Wtedy

oraz

Przykłady

Strona główna


  Literatura M. Dryja, J. i M. Jankowscy  "Przegląd metod i algorytmów numerycznych"