Liczbę λ i wektor x≠0 nazywamy odpowiednio wartością i wektorem własnym macierzy A, jeśli Ax=λx.

Przekształcając Ax=λx otrzymujemy (A-λI)x=0, ten układ ma niezerowe rozwiązania, gdy det(A-λI)=0.

Wartości własne macierzy są zatem zerami wielomianu charakterystycznego P(λ)=det(A-λI).

Poniżej zajmiemy się znalezieniem wartości własnej dla macierzy hessenbergowskiej górnej, tzn macierzy postaci:

Zakładamy, że  

                          

Przedstawiona poniżej metoda Hymana znajdowania wartości własnej oparta jest o znajdywanie zer wielomianu charakterystycznego metodą Newtona, ale nie potrzebuje jawnej postaci ani P(λ) ani P'(λ).

Niech H będzie macierzą hessenbergowską górną i niech dany będzie układ:

 Przyjmując xn=1 i dla ustalonej wartości λ obliczamy xn-1,xn-2,...,x1,α(λ). Korzystając z wzorów Cramera otrzymujemy:

Stąd

       

Oraz

      

Gdzie α'(λ)  wyliczamy z układu:

Przyjmując x'n=0 dla ustalonej wartości λ obliczamy  x'n-1,x'n-2,...,α'(λ).

Stąd

gdzie λ0- wartość początkowa.

Przykłady

Strona główna