Zadanie 1

Oblicz przybliżenie wszystkich  wartości własnych macierzy A

Łatwo sprawdzić, że wielomian charakterystyczny tej macierzy to

Korzystając z oszacowania Hirsh'a mamy |λ|≤3. Zatem za λ0 możemy przyjąć np. -3.

Wstawiając za λ wartość -3 do poniższych wzorów

          

otrzymujemy układy równań

Zatem otrzymujemy

Kolejne przybliżenia tej wartość własnej to -1.613916, -1.250119, -1.061928, -1.000039. Ciąg ten dąży do -1, która jest wartością własną tej macierzy.

Gdy za λ0 przyjmiemy 0 otrzymujemy następujący ciąg przybliżeń: 0.333333, 0.379310, 0.391957, 0.381966. Który jest zbieżny do 0.5(3-√5).

 Gdy za λ0 przyjmiemy 3 otrzymujemy następujący ciąg przybliżeń: 2.733333, 2.632761, 2.618317, 2.618034. Który jest zbieżny do 0.5(3+√5).

Gdy za λ0 przyjmiemy 1.5 otrzymujemy następujący ciąg przybliżeń: 1.083333, 1.007883, 1.000091. Który jest zbieżny do 1.

Zadanie 2

Oblicz przybliżenie wszystkich  wartości własnych macierzy B

Oto wielomian charakterystyczny tej macierzy:

I potrzebne układy równań:

                             

Jeśli za λ0 przyjmiemy 4 otrzymujemy następujący ciąg przybliżeń: 3.500000, 3.210526, 3.063280, 3.008996, 3.000232. Który jest zbieżny do 3.

Jeśli za λ0 przyjmiemy -4 otrzymujemy następujący ciąg przybliżeń: -2.084906, -0.857407, -0.118764, 0.253937, 0.370245, 0.381966. Który jest zbieżny do 0.5(3-√5).

Jeśli za λ0 przyjmiemy 2 otrzymujemy następujący ciąg przybliżeń: 2.500000, 2.600000, 2.617391, 2.618033. Który jest zbieżny do 0.5(3+√5).

Teoria algorytmu Hymana

Strona główna