Metody przybliżone rozwiązywania zadań początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych

Dane jest zadanie początkowe Cauchy'ego:

  

zakładamy, że zadanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Do rozwiązania tego układu możemy stosować następujące metody przybliżone:

- metoda szeregów potęgowych

- metody różnicowe (jednokrokowe i wielokrokowe)

 Poniżej zajmiemy się tylko metodami jednokrokowymi, a w szczególności metodą

Rungego-Kutty 4-go rzędu.

Ogólna postać metody jednokrokowej:

   

gdzie yi jest wartością przybliżoną rozwiązania dokładnego y(x) w punkcie xi=a + i×h.

Do metod różnicowych jednokrokowych zaliczamy metody Rungego-Kutty. Są one postaci

Stałe ci, αi i βij wyznaczamy żądając, aby rozwinięcie rozwiązania dokładnego w szereg potęgowy było zgodne z rozwinięciem rozwiązania przybliżonego do wyrazów zawierających x w odpowiednio wysokiej potędze np.: p wtedy metodę nazywamy rzędu p.

Metodą rzędu 1-go jest metoda Eulera postaci:

 

Metodą 4-go rzędu jest metoda Rungego-Kutty postaci:

gdzie

Przykłady metody Rungego-Kutty 4-go rzędu