1.Obliczanie wartości wielomianu dla argumentu rzeczywistego

Niech

        w(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an,        a0≠0   , ai  rzeczywiste i=0(1)n

Dla rzeczywistego argumentu α chcemy obliczyć w(α).

SCHEMAT HORNERA

Niech liczby b0,b1,...,bn będą dane wzorem

         b0=a0

            bi=αbi-1+a1,  i=1..n

Niech Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+...+bn-2x+bn-1 , wtedy

Q(x)(x-α)+bn=b0xn+b1xn-1+...+bn-2x2+bn-1x-αb0xn-1-αb1xn-2-...-αbn-2x-αbn-1+bn=

=b0xn+(b1-αb0)xn-1+...+(bn-2-αbn-3)x2+(bn-1-αbn-2)x+(bn-αbn-1)=

 =a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an=w(x) 

Zatem liczby b0,b1,...,bn-1 są to współczynniki ilorazu powstałego z dzielenia w(x) przez x-α, liczba bn jest resztą z tego dzielenia. Mamy

       w(α)=bn .

Przykład:

               w(x)=x4-3x2+x-2        α=2

ai 1 0 -3 1 -2
bi 1 2 1 3 4

               w(2)=4

2.Obliczanie wartości wielomianu dla argumentu zespolonego

Niech

        w(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an,        a0≠0   , ai  rzeczywiste i=0(1)n

        z=α+iβ , w=α-iβ.

Dla zespolonego argumentu z chcemy obliczyć w(z). Definiujemy

      m(x)=(x-z)(x-w)=x2-2αx+α22

Dzielimy w(x) przez m(x). Otrzymujemy iloraz Q(x) i resztę Ax+B, tzn.:

      w(x)=Q(x)m(x)+Ax+B

Stąd

      w(z)=Az+B=A(α+iβ)+B=Aα+B+iAβ

Przykład:

               w(x)=x3+1       z=i

       m(x)=(x-i)(x+i)=x2+1

       w(x)=x(x2+1)-x+1          A=-1   B=1

       w(i)=Ai+B=-i+1

3.Algorytm dzielenia w(x) przez trójmian m(x)

Niech

         w(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an,        a0≠0   , ai  rzeczywiste i=0(1)n

         m(x)=x2+px+q,     p,q rzeczywiste

Oznaczmy iloraz z dzielenia w(x) przez m(x) przez

         Q(x)=b0xn-2+b1xn-3+...+bn-3x+bn-2 a resztę  bn-1x+bn

Korzystamy z równości

         w(x)=Q(x)m(x)+bn-1x+bn

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an=(x2+px+q)(b0xn-2+b1xn-3+...+bn-3x+bn-2)+bn-1x+bn=

=b0xn+b1xn-1+...+bn-2x2+p(b0xn-1+b1xn-2+...+bn-2x)+q(b0xn-2+b1xn-3+...+bn-2)+bn-1x+bn

Grupując współczynniki otrzymujemy

                a0=b0

         a1=b1+pb0

         ai=bi+pbi-1+qbi-2          i=2..n-1

         an=bn+qbn-2

Stąd

         b0=a0

         b1=a1-pb0

         bi=ai-pbi-1-qbi-2          i=2..n-1

         bn=an-qbn-2 .

Strona główna